Sławomir Zemlik urodził się w Malborku i w tamtejszym Jurandzie rozpoczynał swoją przygodę z siatkówką. Od 2017 roku gra poza granicami Polski, przed minionymi rozgrywkami zasilił ligę szwedzką. W kolejnym sezonie pozostanie w tamtejszej lidze, zmieni jednak pracodawcę. Z wicemistrza kraju Falkenbergs VBK przeniesie się do dziewiątej drużyny ostatniego sezonu Lunds VK, aby pomóc im wspiąć się w tabeli.
Sławomir Zemlik w 2008 roku trafił do młodzieżowej drużyny z Gdańska, a w sezonie 2013/14 zadebiutował w PlusLidze.
Rok później po raz pierwszy wyjechał zagranicę i przed niespełna jeden sezon reprezentował na zasadzie wypożyczenia austriacki Posojilnica AICH/DOB. Z klubem z Austrii zadebiutował nawet w Lidze Mistrzów.
W 2015 roku zdecydował się na powrót na polskie parkiety. Grał kolejno dla KS Espadonu Szczecin i KPS-u Siedlce. W 2017 roku zdecydował się przyjąć ofertę niemieckiego TSV Herrsching, a w 2021 wyjechał do Szwecji. Tam z zespołem Falkenbergs VBK wywalczył wicemistrzostwo Szwecji. W nadchodzących rozgrywkach przyjmujący wzmocni Lunds VK.
